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研究生课程《微分方程几何理论》教学大纲

  发布日期:2016-12-27  浏览量:602


课程编号:Math2075

课程名称:微分方程几何理论

英文名称:Geometric Theory of Differential Equation

                                

开课单位:数学科学学院                           

开课学期:秋

课内学时:34                               

教学方式:讲授

适用专业及层次:数学专业、硕士研究生             

考核方式:笔试

预修课程:数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程

 

一、教学目标与要求

本课程较全面、系统地介绍微分方程的基本理论、方法和某些应用。

重点是微分方程解的存在性与唯一性 ,解的开拓,解对初值的连续依赖性与可微性 ,解对参数的连续性与可微性;常系数线性系统 ,非线性系统的平衡点与平衡点的稳定性,线性近似方程为中心的情况,非线性系统的高阶平衡点;极限环与极限环稳定性的定义 ,后继函数与极限环, 极限环的指数与稳定性判断法,平衡点的指数 ,极限环位置的估计,无穷远点,全局拓扑结构图;流,动力系统,导算子 ,轨线的极限状态与极限集的性质,截割与流匣 ,平面极限集的性质与Poincaré-Bendixson定理,Poincaré-Bendixson应用等。

难点是极限环位置的估计与极限环唯几性,全局拓扑结构图和Poincaré-Bendixson的应用等。

通过本课程学习,主要是培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力,提高研究生的数学素养。在重视数学论证的同时,强调数学概念的物理、力学等实际背景,培养研究生应用数学知识解决实际工程技术问题的能力。通过本课程的学习,要求研究生掌握矩阵的基本理论和方法,为学习后继课程、开展科学研究打好基础。

 

二、课程内容与学时分配

第一章  基本定理(8学时)

11  微分方程解的存在性与唯一性                      

12  解的开拓

13  解对初值的连续依赖性与可微性                      

14  解对参数的连续性与可微性

      

第二章  二维系统的平衡点(8学时)

21  常系数线性系统         

22  非线性系统的平衡点与平衡点的稳定性

23  线性近似方程为中心的情况                       

24  非线性系统的高阶平衡点

    

第三章  二维系统的极限环(9学时)

31 极限环与极限环稳定性的定义                 

32 后继函数与极限环

33 极限环的指数与稳定性判断法

34 平衡点的指数   

35 极限环位置的估计

36无穷远点

37全局拓扑结构图

 

第四章  动力系统(9学时)

41                        

42  动力系统

43  导算子                      

44  轨线的极限状态与极限集的性质

45  截割与流匣        

46  平面极限集的性质与Poincaré-Bendixson定理

47  Poincaré-Bendixson定理的应用

 

四、教材                      

张锦炎,常微分方程几何理论与分支问题,北京大学出版社,1980

 

主要参考书

1.北京大学,高等代数,北京:高等教育出版社,第二版,1988

2Lefschetz,S., Differential Equations: Geometric Theory,New York, Jorn Wiley,1962

3.韩茂安,朱德明,微分方程分支理论,北京:煤炭工业出版社,1994.

4.冯贝叶,钱敏,稳定性、分歧与混沌,昆明:云南科技出版社,1995.

 

大纲撰写负责人:肖箭,齐龙兴          授课教师:王良龙,吴然超,肖箭,齐龙兴等

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