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《组合矩阵论》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:1095


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《组合矩阵论》课程是数学与应用数学专业的专业选修课程,也是应用性很强的一门数学课。本课程主要研究用矩阵论和线性代数来证明组合性定理及对组合结构进行描述和分类。同时也把组合论的思想和论证方法用于矩阵的精细分析及揭示阵列的内在组合性质。组合矩阵论是近20年来兴起并发展迅速的一个数学分支。组合矩阵论不仅与众多的数学领域(线性代数,图论,数论和概率论等)有密切的联系,而且在信息科学,经济数学,计算机科学和社会学等许多方面都有具体的应用背景。

 

设置本课程的目的是:一方面向学生介绍组合矩阵论这一迅速崛起的数学分支;另一方面吸引同学们参加这一理论的研究。

 

学习本课程的要求是:通过本课程的学习,要使学生了解组合矩阵论的精髓。主要是矩阵与图的谱,矩阵的组合性质等内容。同时,也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力,使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识,分析和解决实际问题的能力。当然,由于教材有一定难度,只讲授该教材的前两章。

先修课程要求线性代数,图论

本课程计划54学时,3学分

选用教材柳柏濂,组合矩阵论(第二版),科学出版社,20061

教学手段课堂讲授为主,习题课与讨论课为辅

考核方法考试

 

 

 

教学进程安排表

 

周次

 

学时数

 

 

 

 

教学环节

 

备注

1

3

矩阵和图

讲课

 

2

3

谱的图论意义

讲课

 

3

3

图的特征值的估计

讲课

 

4

3

线图和全图的谱

讲课

 

5

3

同谱图

讲课

 

6

3

01)矩阵的谱半径

讲课

 

7

3

习题课

习题课

 

8

3

矩阵的置换相抵与置换相似

讲课

 

9

3

项秩与线秩

讲课

 

10

3

不可约方阵和完全不可分方阵

讲课

 

11

3

矩阵置换相似标准形和置换相抵标准形

讲课

 

12

3

几乎可约矩阵和几乎可分矩阵

讲课

 

13

3

积和式

讲课

 

14

3

具有一定行和、列和向量的(01)矩阵类

讲课

 

15

3

随机矩阵与双随机矩阵

讲课

 

16

3

Birkhoff定理的拓广

讲课

 

17

3

习题课

习题课

 

18

3

总复习

讨论课

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1  矩阵和图的谱

一、学习目的

通过本章的学习,要求学生掌握矩阵和图的结合以及图的谱的相关理论。本章计划21学时。

二、课程内容

1.1 矩阵和图

  这一节研究图和矩阵的关系,并介绍图的谱的概念。

1.2 谱的图论意义

  本节考察谱所表现出来的图论意义。

1.3 图的特征值的估计

  对于大量的图,还不能直接求出它们的谱。于是,对于图的特征值的估计值是组合矩阵论中相当活跃的课题。

1.4 线图和全图的谱

本节讨论线图和全图的谱。

1.5 同谱图

有相同特征多项式的两个不同构的图称为同谱图。对于有向图,同谱图是大量存在的。

1.6 (01)矩阵的谱半径

本节主要讨论对(01)矩阵的谱半径的界做估计,即所谓最大谱半径和最小谱半径问题。

三、教学基本要求

了解:组合矩阵论的发展现状。关于图谱理论的一些重要结果。

理解:图的谱概念,谱半径的概念,线图和全图的概念。

掌握:能计算一些常见的简单图的谱。

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1,矩阵和图的完美结合。

2,具有强烈代数性的特征值体现的组合性

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

思考:本章中哪些结果刻画了矩阵的组合性质?

练习由授课老师自行确定

 

2章 矩阵的组合性质

一、学习目的

通过本章的学习,要求学生掌握用数和图结合的技巧,对矩阵的组合性质作出明确的代数刻画。本章计划30学时。

二、课程内容
2.1
矩阵的置换相抵与置换相似

  在矩阵研究中,我们常采用的是相抵变换和相似变换。当我们要研究矩阵的某一性质或量时,需要采用使这一性质或量保持不变的某一变换。置换相抵变换和置换相似变换就是两种保持某些量不变的变换。

2.2 项秩与线秩

  这一节主要讨论在置换相抵下,矩阵的两个重要组合不变量――项秩和线秩。

2.3 不可约方阵和完全不可分方阵

  用置换相似变换,可将非负矩阵分为可约与不可约两大类。类似地,用置换相抵变换,可将非负矩阵分为部分可分和完全不可分两大类。本节不仅分别讨论不可约方阵和完全不可分方阵的性质,而且还讨论了这两类方阵的关系。

2.4 矩阵置换相似标准形和置换相抵标准形

  本节从不可约方阵和完全不可分方阵来研究矩阵置换相似和置换相抵的标准形。

2.5 几乎可约矩阵和几乎可分矩阵

  本节研究不可约矩阵的子类――几乎可约矩阵和完全不可分矩阵的子类――几乎可分矩阵。

2.6 积和式

  积和式是矩阵置换相抵变换下的一个不变量。用它可以更好地描述组合问题。

2.7 具有一定行和、列和向量的(01)矩阵类

  20世纪50年代开始,H. J. Ryser, D. R. Fulkerson等数学家对具有一定行和、列和向量的(01)矩阵进行了研究。这类矩阵的存在性,结构和计数,一直是组合矩阵理论的重要课题。本节介绍有关这类矩阵的一些结果。

2.8 随机矩阵与双随机矩阵机矩阵

  一个非负矩阵称为随机方阵,如果它的每一行上元素之和都是1。类似地,一个非负矩阵称为双随机方阵,如果它的每个行和与列和都是1。随机方阵在有限齐次马尔可夫链理论中有着重要的应用。双随机方阵在数学和物理学上有许多重要的应用。

2.9 Birkhoff定理的拓广

  Birkhoff定理是上一节的内容。它实质上是讲任何一个双随机方阵都可以表为若干个同阶置换方阵的凸线性组合。本节讨论这一定理的推广。

三、教学基本要求

了解:有关对矩阵的组合性质作出明确的代数刻画的结果。

理解:矩阵置换相抵、置换相似的概念,项秩和线秩的概念,积和式的概念,具有一定行和、列和向量的(01)矩阵类概念,随机矩阵的组合性质。

掌握:组合性质。

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1,用数和图结合的技巧,对矩阵的组合性质作出明确的代数刻画。

2Birkhoff定理的拓广。

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

思考:本章哪些结果是对矩阵的组合性质作出明确的代数刻画?

练习由授课老师自行确定。

 

阅读书目(或参考文献)

1 卢开澄, 卢华明著, 组合数学(第3版),清华大学出版社,2002.

2 R A Brualdi, H J. RyserCombinatorial Matrix Theory, Cambridge University Press, 1991.

3 潘永亮 徐俊明著,组合数学,科学出版社,2006.

4 R. Diestel, Graph Theory, Springer-Verlag, 2005.

5 史荣昌,矩阵分析,北京理工大学出版社,2005.

6 卢开澄,卢华明,图论及其应用,清华大学出版社,2002.

 

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