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《应用随机过程》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:1268


 

《应用随机过程》是统计专业必修课.内容包括引论,泊松过程,马尔可夫链,更新过程,分支过程,平稳过程,布朗运动.讲授随机过程的基本知识与有关应用.通过该课程的学习,培养学生认识随机现象、掌握概率规律,解决实际问题的能力.为他们将来从事科学研究、教学工作以及实际应用打下坚实的基础.

设置本课程的目的是:通过随机过程课程的学习,使学生掌握随机过程的基本概念,基本理论及运用.是学生深入学习概率论与数理统计和精算学专业的某些专业课程的基础.针对专业特点和专业要求,力求以概率的观点来讲述随机过程的理论,逐步培养学生利用随机过程的理论和技能解决应用概率问题.培养学生运用随机过程的方法分析问题、解决问题的能力.通过随机过程的整个教学过程,不断提高学生素质,为培养我国社会主义现代化建设的高层次、综合型人才作准备.

学习本课程的要求是:掌握随机过程及其有限维分布、数字特征、几种重要的随机过程等基本概念;掌握马尔可夫过程的定义及性质、马氏链的状态分类、平稳性和遍历性及连续时间马氏链的基本理论;理解平稳过程的概念、相关函数的性质,掌握遍历性定理、相关函数的谱分解、平稳过程的预报.了解维纳过程、了解均方微分、积分等概念和方法;Ito公式;初步领会随机微分方程在金融中的应用.

先修课程要求:数学分析、概率论.

本课程计划 72学时,4学分,每周4节课.

选用教材:方兆本,缪柏其,《随机过程》,科学出版社,2004 .

教学手段:课堂讲授为主,习题课、课外辅导为辅

考核方法:考试

周次      

学时数

               

教学环节

备注

 1                                                                          

4

随机过程的引言,数字特征,条件期望,矩母函数,收敛性

讲授

 

2

4

泊松过程的定义,性质,泊松过程的等价定义

讲授

 

3

4

与泊松过程相关的若干分布

讲授

 

4

4

泊松过程的推广,更新过程,习题

讲授

 

5

4

Markov链的定义 C-K方程 联合概率

讲授

 

6

4

Markov链状态分类

讲授

 

7

4

Markov链的极限定理及平稳分布

讲授

 

8

4

分支过程及性质,最终消亡概率,连续时间Markov链定义,基本性质

讲授

 

9

4

纯生过程,Yelu过程,生灭过程简介 习题

讲授

 

10

4

平稳过程

讲授

 

11

4

平稳过程遍历性

讲授

 

12

4

平稳过程的协方差函数,功率谱密度

讲授

 

13

4

最小均方误差预报,自回归模型预报和均方误差

讲授

 

14

4

滑动和模型预报和均方误差平稳序列的预报,习题

讲授

 

15

4

布朗运动定义,轨道性质

讲授

 

16

4

随机微分积分和随机微分方程

讲授

 

17

4

伊藤微分公式和一般随机微分方程,布朗运动的其他一些应用

讲授

,

 

18

4

复习答疑

讲授

 

教学进程安排表

 

 

 

 

第一章 引论

一 学习目的

理解随机过程的定义,了解随机过程的例子,掌握有限维分布和数字特征.理解宽平稳过程,严平稳过程,平稳增量过程,独立增量过程的定义.理解条件期望的定义,三个常用的性质,掌握三个性质的运用.掌握矩母函数,生成函数定义,了解常用概率分布的矩母函数,掌握矩母函数,生成函数性质的运用.了解几乎处处收敛,依概率收敛和均方收敛的含义和相互关系.本章计划4学时.

课程内容

1节 引言

1,基本概念和例子

随机过程的定义,随机过程的例子.

2,有限维分布和数字特征

有限维分布和数字特征.

3,平稳过程和独立增量过程

宽平稳过程,严平稳过程,平稳增量过程,独立增量过程的定义.

2节 条件期望和矩母函数

1,条件期望

条件期望的定义,三个常用的性质,三个性质的运用.

2,矩母函数及生成函数

矩母函数,生成函数定义,常用概率分布的矩母函数,矩母函数,生成函数性质的运用.

3节 收敛性

几乎处处收敛,依概率收敛,均方收敛的含义和相互关系.

重点,难点提示

1,理解条件期望性质的运用.

2,随机和的矩母函数.

3,随机过程协方差的非负定性.

4,三种收敛性定义及相互关系.

思考与练习

1,随机过程的定义,样本路径含义.

2,条件期望的基本性质是什么?

3,几乎处处收敛,依概率收敛和均方收敛的相互关系?

4,矩母函数及生成函数的性质.

 

第二章 泊松过程

一 学习目的

了解计数过程,掌握计数过程中独立增量和平稳增量的含义,掌握泊松过程的两个等价定义,理解两个定义等价性的证明.了解泊松过程中事件的来到间隔序列的定义,掌握泊松过程的来到间隔序列为独立同分布的指数随机变量.掌握泊松过程中等待时间随机变量的定义,概率密度函数. 在了解顺序统计量的基础上,掌握泊松过程中来到时刻的条件分布,掌握利用条件分布解决排队平均等待时间.掌握非齐次泊松过程的定义.掌握复合泊松过程的定义,理解泊松过程与复合泊松过程的关系及本质区别.掌握空间泊松过程的定义.掌握标值泊松过程的定义.理解更新过程的定义,理解泊松过程是一种特殊的更新过程,掌握更新函数的表达式,了解基本更新定理. 本章计划12学时.

二 教学内容

1节 泊松过程

计数过程,计数过程中独立增量和平稳增量的含义,泊松过程的两个等价定义,两个定义等价性的证明.

2节 与 Poisson 过程相联系的若干分布

1,时间间隔的分布

泊松过程中事件的来到间隔序列的定义,泊松过程的来到间隔序列为独立同分布的指数随机变量.

2,发生时刻的分布

泊松过程中等待时间随机变量的定义,概率密度函数.泊松过程中来到时刻的条件分布,掌握利用条件分布解决排队平均等待时间.

3 Poisson 过程的推广

1,非齐次泊松过程

非齐次泊松过程的定义.

2,复合泊松过程

复合泊松过程的定义,泊松过程与复合泊松过程的关系及本质区别.

3,空间泊松过程

空间泊松过程的定义.

4,标值泊松过程

标值泊松过程的定义.

5,更新过程

更新过程的定义,泊松过程是一种特殊的更新过程,更新函数的表达式,基本更新定理 .

重点,难点提示

1,泊松过程中关于发生时刻和次数的等价事件.

2,时间间隔的分布,发生时刻的分布.

3,基本更新定理.

4,泊松过程中来到时刻的条件分布.

思考与练习

1,泊松过程与稀有事件原理有什么联系?

2,复合泊松过程与泊松过程的区别是什么?

3,更新过程与泊松过程的区别与联系.

4,基本更新定理在泊松过程下的验证.

 

第三章 Markov

一 学习目的

掌握马尔可夫链和马尔可夫性的定义,掌握马尔可夫链的特征及条件,能熟练写出常见 Markov 链转移概率矩阵.掌握切普曼-柯尔莫哥洛夫方程,联合分布概率的计算.掌握马尔可夫链互达,周期,常返,瞬过,正常返,零常返等概念.理解下述结论:1若状态互达则周期相同,2若状态互达,若一个状态常返,另一状态也是常返,掌握判断状态常返的充分必要条件.掌握马尔可夫链的极限定理,掌握马尔可夫链中平稳分布,极限分布的概念.能够利用平稳分布求解 Markov 的极限分布.理解分支过程概念,掌握从单个个体开始群体迟早灭绝的概率的求解方法.掌握连续时间马尔可夫链的定义性质及其与离散时间马尔可夫链的区别,掌握转移速率的概念,掌握 Q 矩阵的概念,掌握柯尔莫哥洛夫向前和向后微分方程.了解生灭过程,了解纯生过程及其与一般生灭过程的关系,了解尤尔过程及其与一般生灭过程的关系.本章计划20学时.

二 教学内容

1节 基本概念

马尔可夫链和马尔可夫性的定义,马尔可夫链的特征及条件, Markov 链转移概率矩阵.切普曼-柯尔莫哥洛夫方程,联合分布概率的计算.

2节 状态分类及性质

马尔可夫链互达,周期,常返,瞬过,正常返,零常返等概念.下述结论:1若状态互达则周期相同,2若状态互达,若一个状态常返,另一状态也是常返,掌握判断状态常返的充分必要条件.

3节 极限定理及平稳分布

1,极限定理

马尔可夫链的极限定理,

2,平稳分布

马尔可夫链中平稳分布,极限分布的概念.平稳分布求解 Markov 的极限分布.

4节 分支过程

分支过程概念,从单个个体开始群体迟早灭绝的概率的求解方法.

5节 连续时间马尔可夫链

连续时间马尔可夫链的定义,性质,及其与离散时间马尔可夫链的区别,转移速率的概念.Q 矩阵的概念.柯尔莫哥洛夫向前和向后微分方程.生灭过程,纯生过程及其与一般生灭过程的关系,尤尔过程及其与一般生灭过程的关系.

重点,难点提示

1,互达,周期,常返,瞬过,正常返,零常返概念的理解.

2,柯尔莫哥洛夫向前和向后微分方程.

3,切普曼-柯尔莫哥洛夫方程.

4,转移概率矩阵与Q 矩阵的计算.

思考与练习

1,如何理解马氏性的直观含义.

2,如何区分状态是常返,瞬过,正常返和零常返.

3,有限状态马尔可夫链的分类.

4,分支过程中代n个体的发布问题.

 

 

第四章 平稳过程

一 教学目的

掌握宽平稳过程和严平稳过程的定义,掌握白噪声序列的定义,了解周期平稳过程的定义,掌握复平稳过程的定义.掌握平稳过程,平稳序列均值遍历性定义,判定定理和推论.理解平稳过程,平稳序列协方差遍历性的定义,判定定理和推论.掌握平稳过程协方差函数的对称性,有界性,非负定性.理解功率谱密度的定义,掌握Wiener-khintchine定理.掌握 函数在Wiener-khintchine定理中的应用,掌握白噪声过程和白噪声序列的协方差函数和谱密度.掌握最小均方误差的预报定理.掌握最小均方误差预报的典型例题,掌握自回归模型的最佳预报和预报均方误差,掌握滑动平均模型的预报和预报均方误差.本章计划20学时.

二 教学内容

1节 定义

宽平稳过程和严平稳过程的定义,白噪声序列的定义,周期平稳过程的定义,复平稳过程的定义.

2节 遍历性定理

平稳过程,平稳序列均值遍历性定义,判定定理和推论.平稳过程,平稳序列协方差遍历性的定义,判定定理和推论.

3节 平稳过程的协方差函数和功率谱密度

平稳过程协方差函数的对称性,有界性,非负定性.功率谱密度的定义, Wiener-khintchine定理. 函数在Wiener-khintchine定理中的应用,白噪声过程和白噪声序列的协方差函数和谱密度.

4节平稳序列的预报

最小均方误差的预报定理.最小均方误差预报的典型例题,自回归模型的最佳预报和预报均方误差,滑动平均模型的预报和预报均方误差.

重点,难点提示

1,宽平稳过程和严平稳过程的关系.

2,协方差函数的性质.

3,均值遍历性判定定理.

4 函数在Wiener-khintchine定理中的应用.

5,自回归模型和滑动平均模型的预报和预报均方误差.

思考与练习

1,复平稳过程与实平稳过程的定义的联系与区别?

2,最小均方误差预报定理的几何解释.

3,白噪声过程和白噪声序列的协方差函数和谱密度的区别?

4,功率谱密度定义,Parsval等式,Wiener-khintchine定理,Fourier变换关系.

 

 

第五章 Brown 运动

一 教学目的

了解布朗运动的来由和本质,了解布朗运动与随机游动的区别与联系.掌握布朗运动过程的定义和独立增量性,掌握将一般布朗运动转化为标准布朗运动的方法.了解布朗运动路径的性质.掌握独立增量的密度函数,联合密度函数和条件密度函数.了解布朗桥的含义,掌握布朗运动过程的首达时概念及概率函数,掌握布朗运动过程的最大值概念及概率函数.理解均方积分,均方微分,关于布朗运动的积分概念,掌握均方积分,均方微分,关于布朗运动的积分基本性质.掌握伊藤引理,掌握伊藤微分公式,了解一般随机微分方程及B-S公式.理解反正弦率,理解布朗桥及其在研究经验分布函数时的作用.本章计划12学时.

二 教学内容

1节 定义

布朗运动的来由和本质,布朗运动与随机游动的区别与联系.布朗运动过程的定义和独立增量性将一般布朗运动转化为标准布朗运动的方法.

2节 布朗运动的性质

布朗运动路径的性质.独立增量的密度函数,联合密度函数和条件密度函数.布朗桥的含义,布朗运动过程的首达时概念及概率函数,布朗运动过程的最大值概念及概率函数.

3节 随机积分和随机微分方程

均方积分,均方微分,关于布朗运动的积分概念,均方积分,均方微分,关于布朗运动的积分基本性质.

4节 伊藤微分公式和一般随机微分方程

伊藤引理,伊藤微分公式,一般随机微分方程及B-S公式.

5节 布朗运动的其他一些应用

反正弦率,布朗桥及其在研究经验分布函数时的作用.

重点,难点提示

1,布朗运动过程的首达时概念及概率函数..

2,布朗运动过程的最大值概念及概率函数.

3,伊藤引理,伊藤微分公式.

4,均方积分,均方微分,关于布朗运动的积分概念和基本性质.

 

思考与练习

1,布朗运动在[0,t]二次变差为t.

2,布朗桥及其在研究经验分布函数时的作用.

 

参考文献

1,(美)S. M. 劳斯著,何声武,谢盛荣,程依明译,随机过程 ,中国统计出版社,1997.

2,邓永录,随机点过程及其应用,科学出版社,1999.

3,陆大铨,随机过程及其应用,清华出版社,1996.

4,张波,应用随机过程中国人民大学出版社,2002.

5,复旦大学,随机过程 ,人民教育出版社,1981.

6,何声武,随机过程导论,高等教育出版社,1999.

7,林元烈,应用随机过程,清华大学出版社,2002.

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