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《现代微分方程选讲》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:712


 

 

《现代微分方程选讲》是常微分方程的后续学习课程,是数学与应用数学专业高年级选修课程之一.本课程主要是用近代化和简明化的观点来诠释微分方程与动力系统的基本理论与方法.微分方程是属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科其自身也在不断发展中,学好现代微分方程基本理论以及所使用的现代观点,方法和手段对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要.其中现代观点涉及拓扑学,微分几何,泛函分析,实变函数,复分析等数学分支.

设置本课程的目的是:通过对本课程的学习.一方面要求学生掌握现代微分方程本身的基本理论与方法,培养学生的数学素养;另一方面要求学生了解微分方程与数学其它分支的联系,同时要求学生掌握一些现代数学理论和观点,为进一步学习打好良好的基础.

学习本课程的要求是:掌握常微分方程的一般理论,了解现代数学的概念与观点,理解与相关学科的联系.把握现代微分方程的主要内容:第一篇,基本理论,它包括解的存在与唯一性,解对初值和参数的依赖性;第二篇,线性理论,它包括常系数线性系统,线性共轭,Sturm-Liouville理论,复线性系统;第三篇,基础理论,Poincaré-Bendixson定理,Liapounov稳定性, 曲面上的Poincaré-Bendixson定理,双曲奇点与双曲周期轨道的局部结构.

 

先修课程要求:数学分析,高等代数,解析几何,常微分方程,复变函数,拓扑学,微分几何,泛函分析,实变函数,复分析

 

本课程计划:总学时54,周学时3,学分3

选用教材:盛立人、肖箭著,现代微分方程理论,上海大学出版社,2002年出版.

教学手段:课堂讲授为主,讨论与研究为辅.

考核方式:考查

 

 

 

 

 

教 学 进 程 安排 表

周次

学时数

         

教学环节

备注

  1

6

方程组的Cauchy问题

课堂授课

 

  2

6

解对初值和参数的依赖性

课堂授课

 

  3

3

常系数线性系统的解空间

课堂授课

 

  4

3

指数矩阵

课堂授课

 

  5

3

线性流

课堂授课

 

  6

3

线性共轭

课堂授课

 

  7

3

Sturm-Liouville理论

课堂授课

 

  8

3

复解析线性系统

课堂授课

 

  9

3

实线性与复解析系统研究的内容,方法和手段差异性与相关性

讨论课

 

10

3

向量场与流

课堂授课

 

11

3

向量场的等价与共轭

课堂授课

 

12

3

双曲奇点的局部结构,周期轨道的局部结构

课堂授课

 

13

3

环面上的线性流

课堂授课

 

14

3

轨道的正、负极限集,

Poincaré-Bendixson定理及其应用

课堂授课

 

15

3

Liapounov意义下的稳定性,

课堂授课

 

16

3

曲面上的Poincaré-Bendixson定理

课堂授课

 

17

3

微分同胚与

双曲周期轨道的Hartman定理

课堂授课

 

18

3

不变流形

课堂授课

 

19

3

复习

习题辅导课

 

20

 

考试

 

 

 

 

 

第一篇  基本理论

一.学习目的

通过本篇的学习,明确运动过程的量与量的关系中研究对象,理解常微分方程的产生与发展过程,要求学生掌握微分方程基本理论研究意义和方法.基本理论计划12学时.

 

二.基本内容

第一章       解的存在与唯一性

 

§1.1 Cauchy问题

本节主要考虑系统

                                                   1

满足初始条件 的解存在且唯一的问题.掌握如下两个基本定理:

Picard定理  上连续,且满足Lipschitz条件,其中

.

则系统(1)存在唯一的在 上的解满足初始条件 ,其中 .

Peano定理  上连续,其中 同上.若在 上有 ,则系统(1)在 上存在解,其中 同上. 理解以上两定理的证明.

 

§1.2 广义解

定义1  系统(1)的一个定义于一个极大区间上的解,称为极大解.

定义2  上有定义,若在 上存在一个绝对连续函数 满足以下两条件:

(一)

(二)在 上几乎处处成立 .

称为系统(1)的广义解.了解方程的解与广义解的区别.

 

 

第二章       解对初值和参数的依赖性

 

§2.1 连续性

在第一章中初始条件 是固定的,显然假如 变动,则相应的解也将随之变动.则解 可作为 的函数.解对初值连续性定理如下.

定理  上连续,且关于 满足局部Lipschitz条件,则系统(1)的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的.

同时,也考虑解对初值和参数的连续性定理.

§2.2 可微性

本节设解 可作为 的函数,讨论关于变量 的偏导数的存在性和连续性.得到了如下定理

定理  设函数 在区域上,则系统(1)的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的.

 

 

三.基本要求

理解:解的初值问题背景的提出,解的存在问题,解的唯一问题,解对初值和参数的依赖性

掌握:L-条件,极大解,广义解,解对初值的连续性和可微性

了解:Picard定理和Peano定理的证明过程

 

四.难点和重点

难点:概念的提出;主要定理的证明过程;

重点:解的存在与唯一性;解对初值的连续性和可微性.

 

五.教学手段

以课堂讲授为主,以提问与讨论为辅.

六、思考题

1)什么时候解存在?

2L-条件能否去掉也能保证解唯一?怎样减弱L-条件也能保证解唯一?

 

 

 

第二篇  线性理论

一. 学习目的

通过本篇的学习,明确现代数学观点下的解空间的结构和线性系统的分类,要求学生掌握实和复线性微分系统的基本理论和特征, 理解区分实复域的结果.线性理论计划21学时.

 

二.基本内容

第一章  实线性微分系统的一般性质

 

§1.1 解空间与基本解组

本节考虑非齐次线性系统

   2

和齐次线性系统

         3

的解的性质和特征,得到齐次线性系统解空间的特征.

定理  对于系统(3),其所有解在通常加法和乘法意义下购构成 维线性空间.

进一步,定义了同构,解矩阵,基,基本解阵等概念.

 

§1.2 常数变异法

本节引入常数变异法求解思想,给出了非齐次线性系统解的表达式.

定理  为系统(3)的一个基本解阵,则系统(2)满足初始条件 的解可表为

.

进一步,介绍了Liouville公式.

定理(Liouville公式)  为系统(3)的一个解矩阵,则有

.

 

第二章  实常系数线性微分系统

 

§2.1 指数矩阵与线性流

(一)定义 并讨论其性质;

(二)定义线性流;

(三)讨论渐近性质和本征向量的性质.

 

§2.2 二维常系数线性微分系统

本节利用指数矩阵与线性流讨论了系统的不动点的分类以及走向.涉及奇点类型为结点,鞍点,中心和焦点.

 

第三章  线性共轭

§3.1 线性吸引子与逸散子

§3.1 线性吸引子与逸散子

(一)  考虑两个常线性系统

     4

     5

定义  上的线性向量场,对应于这两个场的流分别为 .若存在一个双射 ,使得

.

则称 为共轭映射.也称以上两个线性系统共轭.

注1          共轭关系为线性场间的等价关系,当 为线性同构,同胚,或 微分同胚时,则分别称以上两个线性系统为线性共轭,拓扑共轭,或 微分共轭.

(二)讨论线性吸引子与逸散子,稳定子空间和不稳定子空间等概念的性质和联系.

 

§3.2 拓扑共轭

进一步,研究拓扑共轭的性质.

 

§3.2 拓扑共轭

进一步,研究拓扑共轭的性质.

 

第四章  Sturm-Liouville理论

 

§4.1 Sturm 定理与Sturm-Liouville问题

讨论方程

     5

的解的零点分布情况,所得给出的经典定理称为Sturm定理.主要涉及零点分隔定理和比较定理.

 

§4.2 本征值与本征函数

(一)讨论方程

的解存在问题,称为正则Sturm-Liouville问题.其中 称为权函数,使上问题有解的数 称为本征值.

(二)引入本征函数,并研究其性质.

 

第五章  复线性微分系统

§5.1 奇点分类

本节讨论了以下两问题:

(一)第一类奇点和第二类奇点定义;

(二)正则奇点和非正则奇点

§5.2 基本解矩阵结构

本节主要涉及两内容:

Laurent级数和形式解定义;

基本解矩阵结构以及存在的判别定理.

 

§5.3 微分方程解析理论

所谓解析理论就是用复变函数研究微分方程及其性质.本节主要涉及Cauchy定理,可移奇点与固定奇点, Poincaré定理, Panlevé定理, Fuchs定理以及Malmquist定理.

 

思考题:(1)指数矩阵计算方法能否改进?(2)解的渐近性质任何,怎样判定?(3)线性吸引子的意义.4)拓扑共轭的几何意义.4)复线性微分系统的奇点有几种类型?它与实常系数线性微分系统的奇点分类有何不同?

 

三.基本要求

理解:线性流;解的渐近性质;本征向量,线性共轭,Sturm-Liouville问题,基本解矩阵结构

掌握:指数矩阵的定义和一般计算方法,渐近性质的判定,二维常系数线性微分系统,线性吸引子与逸散子,本征值与本征函数,奇点分类

了解:线性流的描述,拓扑共轭,解析理论

四.难点和重点

难点:线性流,线性吸引子与逸散子,拓扑共轭,本征值与本征函数和奇点分类等概念的提出与描述;主要定理的证明过程

重点:指数矩阵的计算;二维常系数线性微分系统渐近性质的判定,拓扑共轭,本征值与本征函数,奇点分类

 

五.教学手段

课堂讲授为主,课堂讨论为辅

 

第三篇  定性理论

 

一.学习目的

通过本篇的学习,要求学生掌握微分方程的定性理论和方法, 理解向量场,流和稳定性的基本定义和意义,了解V函数方法构造,Poincare-Bendixson定理以及曲面上的流和双曲奇元素稳定和不稳定流形的可微性定理 .定性理论计划21学时.

二.基本内容

第一章  基础理论

§1.1 向量场与流

本节主要研究向量场,流的定义, 类流的定义和性质,讨论向量场生成流的可微性以及向量场的相划分.

 

§1.2 向量场的等价与共轭

  本节引进向量场的两个等价定义,讨论有关线性场之间等价问题,得到了两个场之间的一个等价将奇点变为奇点,又将周期解变为周期解的重要结论.

§1.3 双曲奇点的局部结构与周期轨道的局部结构

本节引入双曲奇点,Poincaré映射,周期轨道和极限环等概念,讨论了奇点的Hartman定理和极限环的存在和稳定定理.

§1.4 环面上的线性流

本节利用具有纯虚本征值的线性向量场的流常可导致环面上的流的特征,研究了环面上轨线的性质.

 

第二章  Poincaré-Bendixson定理

§2.1 轨道的正、负极限集

本节介绍轨道的正、负极限集的概念,讨论了它们的性质.

§2.2 Poincaré-Bendixson定理及其应用

本节研究平面上正半轨线的走向,给出了Poincaré-Bendixson定理,并把此定理推广到单位球上.同时作为应用,主要讨论了Lienard方程.

 

第三章  Liapounov稳定性

§3.1 Liapounov意义下的稳定性

本节主要介绍了Liapounov意义下轨线的稳定,渐近稳定和不稳定概念.讨论了零解的稳定性.

§3.2 Liapounov判别法

本节主要引入Liapounov函数概念,介绍了V函数构造法,得到了有关稳定性的两个定理.

 

第四章  曲面上的Poincaré-Bendixson定理

§4.1 旋转数

本节主要讨论曲面上流的刻划,引入了旋转数的概念,得到旋转数定理.

§4.2 Schwartz定理

本节主要研究曲面上的Poincaré-Bendixson定理,给出了如下深刻的Schwartz定理.

定理  无边界的紧连通二维流形 上的一个 类流不得具有一个异于奇点或闭轨线的极小集,除非有 .

 

第五章  双曲奇点与双曲周期轨道的局部结构

§5.1 微分同胚与双曲周期轨道的Hartman定理

本节主要把前面的Hartman定理推广到一条闭轨线的映射上去,得到了的邻域内轨线的拓扑结构.

§5.2 不变流形

本节引入稳定流形和不稳定流形的概念,介绍稳定流形与不稳定流形的可微性定理和不变流形的可微性定理

思考题:(1)向量场的相是怎样划分的?(2)常见的Liapounov函数有那些构造?(3)旋转数有何意义?怎样计算?

 

三.基本要求

理解:双曲奇点的局部结构,周期轨道的局部结构,Poincaré-Bendixson定理

掌握:向量场与流,轨道的正、负极限集,旋转数

了解:环面上的线性流,Poincaré-Bendixson定理极其应用,微分同胚与双曲周期轨道的Hartman定理,不变流形

 

 

四.难点和重点

难点:向量场的等价与共轭,环面上的线性流,旋转数,微分同胚与双曲周期轨道的Hartman定理,不变流形等概念的提出;主要定理的证明过程;

重点:向量场与流;向量场的相划分,向量场的等价与共轭,轨道的正、负极限集,Liapounov意义下的稳定,Poincaré-Bendixson定理极其应用

 

五.教学手段

课堂讲授

 

参考用书

[1] 郑维行、王声望著,实变函数与泛函分析概要,人民教育出版社,1980.

[2] 刘炳初著,泛函分析,科学出, 版社,2000

[3] 丁同仁、李承志著,常微分方程教程,高等教育出版社,1998.

[4] 叶彦谦著,极限环论,上海科技出版社,1984.

[5] 张芷芬,丁同仁等著,微分方程定性理论,高等教育出版社,1985.

[6] 叶彦谦著,多项式微分系统定性理论,上海科技出版社,1994.

[7] 盛立人著,微分方程复域定性理论,安徽大学出版社,1999.

[8] 廖晓昕著,稳定性的理论、方法和应用,华中科技出版社,2005.

[9] 张锦炎,常微分方程几何理论与分支问题,北京大学出版社,1981

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