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《微分流形》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:1443


                                       

微分流形》课程是数学与应用数学专业的选修专业课程。作为近代数学的一门极其重要的基础课程,它主要介绍的是微分流形的一些基本概念,还包括向量丛,向量场,切映射,张量场、外微分形式,流形上的积分等一些近代数学的基本概念与工具,这些现已经成为当代数学家和物理学家在研究和国际学术交流中不可缺少的数学语言和工具。近年来,微分流形这门学科在自然科学的几乎所有领域中都有着日趋广泛的直接或间接的应用。

 

设置本课程的目的是:一方面使学生学好作为近代数学理论基础的微分流形课,以便今后进一步学习Riemann几何等近代数学课程打好基础。为学生尽快从数学分析、线性代数、点集拓扑的基础上达到具有近代数学知识的较高水平架设一座桥梁;另一方面能加深学生对数学分析中有关概念的几何概念和(古典)微分几何课程的理解。

学习本课程的要求是:学习者应了解微分流形的基本概念,基本思想与基本方法。理解数学分析中微分的几何意义,以及各种积分与Green公式、Gauss公式、Stokes公式的在流形上的统一形式。

先修课程要求数学分析,高等代数,空间解析几何,拓扑学,微分几何

本课程计划:54学时,3学分

选用教材:徐森林、薛春华著,《流形》,高等教育出版社,1991

教学手段课堂讲授

考核方法:考查

 

 

 

 

教学进程安排表

 

周次

 

学时数

 

 

 

 

教学环节

 

备注

1

3

微分流形发展简介

 

 

2

3

微分流形的一些基本概念

 

 

3

3

常见的微分流形例子

 

 

4

3

映射,浸入,嵌入,微分同胚

 

 

5

3

子流形与正则子流形

 

 

6

3

单位分解

 

 

7

3

向量丛的基本概念

 

 

8

3

切向量,切空间,切丛

 

 

9

3

切映射及其在局部坐标基下的矩阵

 

 

10

3

切向量场和积分曲线

 

 

11

3

Lie

 

 

12

3

纤维丛简介

 

 

13

3

对偶空间与张量, 空间

 

 

14

3

张量丛与张量场

 

 

15

3

外微分形式与外微分运算

 

 

16

3

流形的可定向与子流形的诱导

 

 

16

3

流形上外微分形式积分的定义

 

 

17

3

Stokes定理及其证明

 

 

18

3

数学分析中Green公式,Gauss公式,Stokes公式的统一

 

 

 

 

 

 

 

 

第一章  微分流形

一、学习目的

通过本章的学习,要求了解微分流形及其Ck映射的基本概念,以及一些典型微分流形的局部坐标系的构造。了解单位分解的概念和有关的定理。加深对古典微分几何的理解。

二、课程内容

§11 微分流形

拓扑流形,局部坐标系,坐标变换,微分流形,微分构造,几个典型的微分流形及其微分构造。

§12 Ck映射

映射, 浸入, 嵌入, 微分同胚,子流形与正则子流形。正则子流形的充分必要条件及其好坐标系。几个典型的(正则)子流形的例子。正则子流形的充分条件。

§13 单位分解

覆盖,子覆盖,覆盖的精致,局部有限的覆盖,仿紧空间, 紧空间。鼓包函数。单位分解的概念及其存在性定理。广义单位分解。紧致流形的嵌入定理。

 

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 微分流形的基本概念,几个典型的微分流形例子。

2 映射, 浸入, 嵌入, 微分同胚。

3子流形与正则子流形。正则子流形的充分必要条件及其好坐标系。

4 局部有限的覆盖,单位分解。鼓包函数。

(二)教学手段

课堂讲授

四、思考与练习

注:思考与练习的形式有教师自行确定,下同

 

第二章  向量丛和切丛

一、学习目的

通过本章的学习,要求理解 微分流形的切向量,切空间,切向量场,以及切向量场的积分曲线等一些基本概念。掌握几个常见微分流形的切向量与切空间。了解Lie群与纤维丛的基本概念。

二、课程内容

§21 向量丛

实向量丛, 实线丛。平凡向量丛, (连续)截面。 截面。 丛映射, 子向量丛。 对偶丛。向量丛可定向的概念。

§22 切丛

切向量,切空间,切空间的基,切空间中坐标基变换公式,切丛,切向量场,局部坐标基向量场,Jocobi映射及其在局部坐标基下的Jacobi矩阵, 曲线。常见微分流形的切向量,切空间。

§23 C切向量场和积分曲线

积分曲线及其局部存在性定理。1参数群,轨道,无穷小变换,局部1参数群及其存在性定理。切向量场的方括号积及其性质。

§24 Lie群或纤维丛简介

拓扑群,Lie群的概念,常见的几个典型的Lie群。Lie群的左方有效作用,迷向子群,轨道,可迁,齐性流形,齐性空间,一般线性群, 阶正交群,运动群。纤维丛的基本概念。

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1切向量,切空间,切丛,切向量场,局部坐标基向量场

2 几个常见微分流形的切向量与切空间。

2 Lie群的概念,常见的几个典型的Lie群,纤维丛。

(二)教学手段

课堂讲授

 

第三章  外微分形式和Stokes定理

一、学习目的

通过本章的学习,要求掌握对偶空间与张量空间,外形式,,微分流形上的余切向量,外微分形式,外微分运算等一些基本概念。理解微分流形上积分的定义与Stokes定理。理解数学分析中各种积分及Green公式,Gauss公式与Stokes公式的统一。

二、课程内容

§31 张量丛和C张量场

对偶空间,协变向量,对偶基, 型张量及其分量,张量空间,张量积,张量代数,张量空间的基,拉回映射,张量丛,张量场。余切空间,余切向量,余切丛。场张量与张量场。

§32 外微分形式和外微分

外形式,协变张量的反称化,外积(反称积)及其性质,Grassmann代数,。外形式丛,向量丛上的外形式,外微分形式,外形式丛。微分流形上的光滑函数与光滑映射的外微分运算及其性质。闭形式与恰当微分形式,以及它们之间的关系。拉回映射及其性质。

§33 C流形的定向和Stokes定理

微分流形的可定向与定向流形,可定向的充分必要条件,正则子流形的诱导定向。可定向微分流形上 次外微分形式在紧致子集上积分的定义。积分的变量代换与积分变换公式。Stokes定理及其证明。

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 对偶空间,协变向量,张量,张量空间,张量积

2 外形式,反称化与反称积,

3 微分流形上的张量丛,余切丛,张量场与余切向量场,拉回映射,外微分运算的概念及性质。

4 微分流形的可定向,可定向微分上 次外微分形式的积分的定义及其坐标变换公式。

5 Stokes定理及其证明。

(二)教学手段

课堂讲授

五、思考与练习

 

阅读书目(或参考文献)

1徐森林著,流形与Stokes定理,高等教育出版社,1980

2 Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. II.,Publish or Perish, Berkeley, 1979

3詹汉生著,微分流形导引,北京大学教材,1987

4陈维桓著,微分流形初步,高等教育出版社

5 欧阳光中,流形上的微积分,高等教育出版社,1996

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