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《微分几何》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:1119


                                 前 言

微分几何》课程是数学与应用数学专业的必修专业课程,也是应用性很强的一门数学课.它是以数学分析与线性代数为主要工具的研究空间形式的一门学科.作为几何学的一个分支,古典微分几何主要讨论R3中曲线与曲面的局部性质.本课程以古典微分几何为主,同时也适当介绍一些近代微分几何的思想与方法.由于微分几何这门学科在科学技术和其他自然科学的领域中有着日趋广泛的渗透和应用,它的生命力至今还很旺盛,并且在内容和方法上不断有所更新.

 

设置本课程的目的是:一方面使学生学好作为数学理论基础的微分几何课,以便今后进一步学习几何理论,为过渡到微分流形理论与Riemann几何打好基础;另一方面培养学生理论联系实际和分析问题、解决问题的能力,会用微分的方法刻画曲线和曲面的几何性质.

学习本课程的要求是:学习者应理解与掌握微分几何的基本概念,基本思想与基本方法.会用微分的方法刻画曲线与曲面的局部几何性质,了解用积分的方法刻画它们的一些整体性质.培养几何直观和空间图形想象的能力,从具体到抽象的能力.

先修课程要求数学分析,高等代数,空间解析几何,常微分方程

本课程计划:72学时,4学分

选用教材:陈维桓编著,微分几何初步,北京大学出版社,1990

教学手段课堂讲授为主,习题课与讨论课为辅

考核方法考试

 

 

 

 

教学进程安排表

 

周次

 

学时数

 

 

 

 

教学环节

 

备注

1

2

微分几何简介,正交标架,向量函数及其运算与性质

讲课

 

1

2

参数曲线,正则曲线的概念,切向量、切线与法平面的计算,曲线的弧长,弧长参数

讲课

 

2

2

曲线的曲率,曲率向量,主法向量,次法向量,密切平面,从切平面,Frenet标架,各种方程的计算

讲课与习题课相结合

 

2

2

挠率的概念,Frenet公式及其应用,挠率的计算

讲课与习题课相结合

 

3

2

曲面论基本定理及其证明

讲课

 

3

2

曲面在一点的标准展开,近似曲线及其计算, 阶切触的概念及其充要条件,曲率圆、曲率半径、曲率半径

讲课

 

4

2

平面曲线的相对曲率,旋转指标的概念,旋转指标定理

讲课

 

4

2

参数曲面片,参数曲线网,曲面的定义

讲课

 

5

2

切平面和法线的方程,切向量与切空间,自然标架,

讲课与习题课相结合

 

5

2

微分的几何解释,曲面的第一基本形式,

讲课

 

6

2

正交参数曲线网的充要条件及其存在性定理

讲课

 

6

2

切映射,保长对应和保角对应

讲课

 

7

2

可展曲面的概念及其充要条件

讲课

 

7

2

曲面的第二基本形式及其应用

讲课

 

8

2

法曲率的概念及其几何意义,渐近方向与渐近曲线

讲课

 

8

2

Gauss映射的概念及其切映射,Weingarten映射的概念,主方向与主曲率的概念

讲课

 

9

2

Euler公式,脐点的概念,曲率线的概念,Rodriques定理及其证明

讲课

 

9

2

主方向与主曲率的计算,Gauss曲率与平均曲率的概念及计算公式,曲率线网的方程

 

讲课

 

10

2

曲率线网的充要条件,Gauss曲率的几何意义,第三基本形式

讲课与习题课相结合

 

10

2

Dupin标形,曲面在一点的标准展开,曲面上的点的分类

讲课

 

11

2

全脐曲面与极小曲面

讲课

 

11

2

Rnk维曲面或超曲面的各种曲率的定义和计算

讨论课

 

12

2

Einstein和式约定,Christoffel记号及其计算Gauss公式,Weingarten公式及其证明

讲课

 

12

2

曲面的唯一性定理及其证明

讲课

 

13

2

Gauss方程,Codazzi方程及其证明

讲课

 

13

2

曲面的存在性定理及其证明

讲课

 

14

2

Gauss定理及其证明

讲课

 

14

2

测地曲率和测地挠率的概念及其几何意义,Liouville公式及其证明

讲课

 

15

2

测地线的概念,曲线为测地线的充要条件,测地线的方程

讲课

 

15

2

Rnk维曲面或超曲面的Gauss方程与测地线

讨论课

 

16

2

弧长第一变分公式.测地线的局部短程性,测地线的局部存在性

讲课

 

16

2

测地平行坐标系

讲课

 

17

2

法坐标系,测地极坐标系

讲课

 

17

2

常曲率曲面的分类定理

讲课

 

18

2

GaussBonnet公式及其应用

讲课

 

18

2

复习

习题课

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第一章  预备知识

一、学习目的

通过本章的学习,要求会在空间中建立正交标架,从而将几何问题转化为代数问题进行讨论,能熟练应用不同标架下两种坐标之间的转换公式解决相关问题,以及运用正交标架表示刚体运动;熟练掌握向量的各种基本运算与向量函数的微积分运算,以及各种运算的几何意义与性质,并会用它们解决或描述一些简单几何问题.本章计划2课时.

二、课程内容

§11 标架

正交标架的概念与建立.不同标架下同一点两种坐标之间的转换公式.用正交标架表示刚性运动.

§12 向量函数

向量代数的基本运算(线性运算、数量积和向量积)及其基本性质与几何意义.向量函数的极限、连续、微分、Taylor展开式及积分.用向量函数的微分方程描述简单的几何问题.

三、教学基本要求

理解:正交标架的概念,向量的基本运算与向量函数的极限,微积分运算.

掌握:坐标转换公式,用向量函数的微分方程描述简单的几何问题

了解:用正交标架表示刚性运动.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 一点在不同标架下两种坐标之间的转换公式.

2 用正交标架表示刚性运动.

3 向量的基本运算及其性质.

4 向量函数的微积分学,基本运算及其性质.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

思考: 中向量值函数的基本计算与微积分运算.

注:思考与练习的形式有教师自行确定,下同

 

第二章  曲线论

一、学习目的

通过本章的学习,熟练掌握曲线论的一些基本概念及其几何意义.理解曲线的曲率和挠率是如何刻画曲线的弯曲程度的.掌握曲线的局部结构和基本定理.会用Frenet标架解决相关问题和用Frenet公式证明有关结论.本章计划12课时.

二、课程内容

§21 参数曲线

曲线的基本概念及其参数方程.参数曲线的切向量,切线与法平面的概念,以及它们在各种曲线方程下的计算方法.曲线的光滑性与参数变换与有向正则曲线的概念.

§22 曲线的弧长

曲线弧长的求法.弧长参数方程的概念与求法.曲线弧长与参数选取的无关性.曲线的参数为弧长参数的充分必要条件.

§23 曲线的曲率和Frenet标架

曲线的曲率、曲率向量、主法向量与次法向量的概念与几何意义,以及它们在弧长参数方程下和一般参数方程下的求法.曲线在某点的Frenet标架.曲线在某点的主法线,次法线,从切平面和密切平面的概念与几何意义,以及它们在弧长参数下方程的计算公式.

§24 挠率和Frenet公式

挠率的概念与几何意义.在弧长参数下和一般参数方程下挠率与密切平面方程的求法.非直线的曲面为平面曲线的充要条件.Frenet公式及其应用.

§25 曲线论基本定理

曲线的弧长、曲率和挠率的刚性.曲线论基本定理及其证明,以及曲线的内在方程.

§26 曲线在一点的标准展开

曲线在r(0)处的局部规范形式(即Bouquet公式).曲线在r(0)处的近似曲线.两条曲线有 阶切触的概念,几何意义与性质.曲率圆,曲率中心和曲率半径的概念及其几何意义.

§27 平面曲线

平面曲线的相对曲率及其几何意义.旋转指标的概念与旋转指标定理.

三、教学基本要求

理解:曲率、挠率、切线、两种向量和两种切平面的概念与几何意义.曲线论基本定理及其证明.平面曲线的相对曲率的概念与几何意义.

掌握: Frenet标架与Frenet公式的应用,局部规范形式.

了解:曲线论基本定理及其证明,近似曲线的概念与计算,曲率圆、曲率中心与曲率半径的概念与几何意义.旋转指标与旋转指标定理.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1曲线基本概念及其几何意义,在各种曲线方程下切线、法平面的计算.

2 弧长与参数选取的无关性.

3 曲率,曲率向量,主法向量和次法向量的求法和几何意义,Frenet标架的建立的条件.

4 挠率的计算和几何意义,Frenet公式的应用.

5 弧长,曲率和挠率的刚性,曲线论基本定理及其证明.

6 Bouquet公式的推导,近似曲线的求法.两条曲线有 阶切触的充要条件,曲率圆的几何意义.

7 旋转指标定理.

(二)教学手段

课堂讲授与讨论课、习题课相结合

五、思考与练习

思考:Rn中的曲线的曲率与挠率的定义与计算.

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第三章  曲面的第一基本形式

一、学习目的

通过本章的学习,要求正确理解曲面的定义,掌握曲面第一基本形式及其几何意义,为今后学习Riemann几何打好基础.会用第一基本形式计算曲面上一些几何量(如曲面上曲线弧长,曲线的夹角,曲面上闭区域的面积).理解向量值函数的微分的几何解释,加深对数学分析中微分的理解.掌握可展曲面的定义与基本特征.本章计划14课时.

二、课程内容

§31 曲面的定义

参数曲面片、参数曲线网、曲纹坐标与正则曲面片的概念.曲面的定义以及曲面的参数变换.几种常见的曲面及其参数方程.

§32 切平面和法线

曲面上的切向量以及曲面在其任意一点的切空间的概念.曲面的切平面和法线的求法.自然标架的建立.向量函数微分的几何解释.

§33 曲面的第一基本形式

曲面的第一基本形式及其几何意义,近代引进第一基本形式的方法.通过第一基本量计算曲面上曲线的弧长,两条相交曲线的夹角,曲面上有界闭区域面积.正交参数曲线网的定义及其充要条件.

§34 曲面上正交参数曲线网的存在性

正交参数曲线网的存在性定理及其证明.

§35 保长对应和保角对应

切映射的概念及其几何意义,切映射在自然基底下的矩阵.保长对应的概念,几何意义与性质.一些简单的保长对应的建立.保角对应的概念,几何意义与性质.任意两个正则曲面之间的保角对应的存在性,一些简单的保角对应的建立.

§36 可展曲面

可展曲面的概念及其充要条件.可展曲面的分类以及可展曲面局部性质.

三、教学基本要求

理解: 正则曲面片,曲面的定义以及曲面的参数变换,自然标架的建立,曲面的第一基本形式及其几何意义.切映射的概念及其几何意义.保长映射与保角映射的概念,几何意义以及它们的性质.可展曲面的概念.

掌握:参数曲面片、参数曲线网,曲纹坐标,几种常见曲面及其参数方程.熟练掌握曲面上的切向量,曲面在其任意一点的切空间的概念,以及曲面的切平面和法线的求法.会用第一基本量计算曲面上曲线的弧长,两条相交曲线的夹角,有界闭区域的面积.切映射在自然基底下的矩阵.会建立一些简单的保长对应和保角对应.可展曲面的充分必要条件,分类以及局部性质.

了解: 向量函数微分的几何解释,近代引进第一基本形式的方法,正交参数曲线网的存在性定理及其证明.任意两个正则曲面之间的保角对应的存在性.

 

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 曲面的定义.

2 切空间的定义,微分dr的几何解释.

3 曲面的第一基本形式的几何意义及其相关量的计算.

4 切映射的概念,几何意义,在自然基底下的矩阵.保长对应与保角对应的概念,性质.简单保长(角)对应的建立.

5 可展曲面的概念,充要条件,分类定理及其局部性质.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

 

第四章  曲面的第二基本形式

一、学习目的

通过本章的学习,熟练掌握曲面的第二基本形式及其几何意义.掌握曲面上曲线的法曲率、主曲率、Gauss曲率和平均曲率等一些概念与计算公式.理解它们是如何刻画曲面的弯曲程度的.理解Gauss映射与Weingarten映射在刻画曲面性质上的应用,为进一步学习子流形几何打好基础.本章计划18课时.

二、课程内容

§41 第二基本形式

曲面的第二基本形式的概念,几何意义与计算.通过第二基本形式刻画正则曲面是平面或球面的充分必要条件.

§42 法曲率

曲面上曲线的法曲率的定义、计算、性质与几何意义.渐近曲线,渐近方向的概念与计算.参数曲线网是渐近曲线网的充要条件以及曲线为渐近曲线的充要条件.

§43 Gauss映射和Weingarten映射

Gauss映射的概念及其切映射在自然基底下的矩阵.Weingarten映射的概念及自然基底在Weingarten映射下的像.Weingarten映射与第二基本形式的关系.主曲率与主方向的概念与几何意义.Euler公式及其证明与应用.脐点、圆点的概念.曲率线的概念与Rodriques定理.曲面上曲线为曲率线的充要条件.

§44 主方向和主曲率的计算

主方向与主曲率的计算.Gauss曲率和平均曲率的概念和计算,以及它们与保持定向的参数变换的无关性.曲率线方程的求法.参数曲线网是曲率线网的概念及其充要条件.Weingarten映射在自然基底下矩阵的推导.Gauss曲率的几何意义.曲面的第三基本形式以及第一、二、三基本形式之间的关系.

§45 Dupin标形和曲面在一点的标准展开

曲面在一点的Dupin标形.曲面上的椭圆点,双曲点和抛物点的概念.曲面在一点的标准展开及近似曲面.

§46 某些特殊曲面

常曲率曲面的性质与分类.极小曲面的概念及其几何意义,R3中极小曲面的充要条件及其方程.

三、教学基本要求

理解:第二基本形式的概念.曲面上曲线的法曲率的概念.渐近曲线、渐近方向的概念.Gauss映射,Weingarten映射,脐点、圆点的概念.曲率线的概念.Gauss曲率与平均曲率的概念.曲率线网的概念.Gauss曲率的几何意义.曲面在一点的Dupin标形.曲面上的椭圆点、双曲点和抛物点的概念.极限曲面的概念及其几何意义.

掌握:第二基本形式的几何意义与计算.会用第二基本形式刻画正则曲面是平面或球面的充分必要条件.法曲率的计算、性质与几何意义.渐近曲线方程、渐近方向的计算.主曲率与主方向的概念与几何意义.Euler公式及其证明与应用.Rodriques定理.曲面上曲线为曲率线的充要条件.主方向与主曲率的计算.Gauss曲率与平均曲率的计算.参数曲线网是曲率线网的充分必要条件.Weingarten映射在自然基底下矩阵的推导.曲面上点的分类.常曲率曲面的性质与分类.

了解:参数曲线网是渐近曲线网的充要条件以及曲线为渐近曲线的充要条件.Gauss映射的切映射在自然基底下的矩阵.Weingarten映射与第二基本形式之间的关系.了解Gauss曲率与平均曲率与保持定向的参数变换的无关性.第三基本形式及其第一、二、三基本形式之间的关系.曲面在一点的标准展开及近似曲面.R3中极小曲面的充要条件及其方程的求法.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 第二基本形式及其几何意义,会用第二基本量刻画某些特殊曲面的性质.

2 法曲率的计算与几何意义,曲面上渐近曲线网的充要条件.

3 Gauss映射的几何意义及应用.

4 Weingarten映射的概念和几何意义,及其和第二基本形式的关系.

5 主曲率与主方向的概念与计算公式.

6 Gauss曲率和平均曲率的概念与计算公式.

7 Gauss曲率的几何意义.

8 曲面在一点的局部性质.曲面上点的分类.

9 常曲率曲面的性质与分类.

10 极小曲面的几何意义与充要条件.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第五章  曲面论基本定理

一、学习目的

通过本章的学习,要求理解曲面的基本公式(即Gauss公式与Weingarten公式),掌握第一、二基本形式之间的关系(即Gauss方程、Codazzi方程),以及曲面的存在性定理与唯一性定理.掌握Gauss绝妙定理及其简单应用.了解法曲率的几何意义.本章计划6课时.

二、课程内容

§51 自然标架的运动公式

Einstein和式约定与Christoffel记号.曲面基本公式(Gauss公式,Weingarten公式)及其几何意义与证明.联络系数 计算公式的推导过程及其几何意义.

§52 曲面的唯一性定理

 曲面的唯一性定理及其证明.通过切映射描述曲面的唯一性定理.

§53 曲面论基本方程

曲面的基本方程(Gauss方程、Codazzi方程)及其几何意义与推导过程, Riemann符号.特殊参数曲线网下,Gauss方程与Codazzi方程的具体形式以及Riemann符号的计算.

§54 曲面的存在性定理

曲面的存在性定理及其证明.

§55  Gauss定理

Gauss绝妙定理及其证明.正交参数曲面网下Gauss曲率的计算.通过Gauss曲率描述可展曲面的充要条件.曲面的法曲率的几何意义.

三、教学基本要求

理解: 曲面的唯一性定理及其证明.通过切映射描述曲面的唯一性定理.Gauss方程,Codazzi方程,Riemann符号.Gauss绝妙定理.曲面的法曲率的几何意义.

掌握: Gauss公式,Weingarten公式及其几何意义与证明.联络系数的计算公式的推导及其几何意义.Gauss方程,Codazzi方程的几何意义,推导过程及其具体形式.Riemann符号的计算.正交参数曲线网下Gauss曲率的计算.会用Gauss曲率描述可展曲面的充要条件.

了解:Einstein和式约定与Christoffel记号.曲面的存在唯一性定理及其证明.法曲率的几何意义.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 Gauss公式与Weingarten公式及其几何意义.

2 曲面唯一性定理及其证明.

3 Gauss方程、Codazzi方程的形式及其几何意义.

4 曲面论存在性定理及其证明.

5 Gauss定理,用Gauss曲率描述可展曲面的充要条件,证明曲面的法曲率包含了曲面形状的全部信息

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第六章  测地曲率和测地线

一、学习目的

通过本章的学习,掌握测地线及其局部存在性与局部短程性.掌握弧长第一变分公式,会用Liouville公式解决相关问题.掌握测地平行坐标系,法坐标系和测地极坐标系的概念与建立,会用这些坐标系解决相关问题.熟练掌握常曲率曲面的分类.掌握GaussBonnet公式及其几何意义,以及常曲率曲面上测地三角形的内角和的计算.本章计划18课时.

二、课程内容

§61 测地曲率和测地挠率

测地曲率、测地挠率的概念与几何意义,测地曲率是内蕴量的证明.测地曲率的计算, Liouville公式及其证明.非直线的渐近曲线的测地挠率为零的证明.

§62 测地线

 测地线的概念及其几何意义.曲面上曲线为测地线的各种充要条件.弧长的第一变分公式以及变分曲线中测地线长度达临界值.

§63 测地坐标系

测地线族的概念.测地线局部存在性定理.测地平行坐标系的概念与几何意义,测地平行坐标系下的第一基本形式.测地圆的概念与Gauss引理.指数映射,法坐标系的概念.法坐标系下第一基本形式.测地极坐标系的概念.测地极坐标下第一基本形式.

§64 常曲率曲面

常曲率曲面的第一基本形式.常曲率曲面的分类及其证明.

§65  曲面上向量场的平行移动

切向量场的绝对微分的概念及性质.切向量场沿曲线的绝对微分.切向量场沿曲线平行的概念与平行移动.测地线为自平行曲线的证明.

§66 GaussBonnet公式

GaussBonnet公式及其证明,几何意义.GaussBonnet公式的应用,常曲率曲面上测地三角形的内角和的计算公式.

三、教学基本要求

理解:测地曲率、测地挠率的概念与几何意义.测地线的概念及其几何意义.测地线族的概念.测地平行坐标系的概念与几何意义.指数映射、法坐标系的概念.

掌握: 测地曲率是内蕴量的证明.测地曲率的计算.Liouville公式及其证明.会证明非直线的渐近曲线的测地挠率为零.曲面上曲线为测地线的各种充要条件及其证明.测地线的局部存在性定理.测地平行坐标系、法坐标系与测地极坐标系下的第一基本形式的特点.常曲率曲面的第一基本形式与常曲率曲面的分类及其证明.GaussBonnet公式及其证明和几何意义.常曲率曲面上测地三角形的内角和的计算公式.

了解:弧长的第一变分公式及其简单.测地圆的概念与Gauss引理.GaussBonnet公式的简单应用.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 测地曲率与测地挠率的概念与计算,Liouville公式.

2 测地线的概念,局部存在性,局部短程性以及第一弧长变分公式.

3测地平行坐标系,法坐标系,测地极坐标系的概念与简单应用.三种坐标系下第一基本形式的特点.

4 常曲率的分类及其代表曲面.

5 Gauss-Bonnet公式的推导及其简单应用.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

注:思考与练习的形式有教师自行确定)

阅读书目(或参考文献)

1 do Carmo著,田畴等译,曲线与曲面的微分几何,机械工业出版社.2005

2 苏步青等著, 微分几何,高等教育出版社,1979

3 徐森林著, 微分几何,湖北教育出版社,2005

4 彭家贵 陈卿著,微分几何,高等教育出版社,2002

5梅向明 黄敬之编,微分几何,高等教育出版社,1988

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