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《拓扑学》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:814


  

前言

《拓扑学》课程是数学与应用数学专业的必修课程.它是研究几何图形在连续变动保持不变的性质(下称“连续不变性”).本课程主要介绍一般拓扑学的基本概念和基础理论.一般拓扑学又称点集拓扑学,即在一般集合上引入拓扑结构,它是拓扑学的基础,主要研究一般拓扑空间的自身结构与拓扑空间上连续映射的学科,目前,拓扑学的概念、方法和理论已经广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域,并且有着日益重要的应用.

 

设置本课程的目的是:通过本课程的学习,一方面使学生掌握一般拓扑学的基本概念、基本思想与基本方法,为进一步学习现代数学提供必要的理论基础.另一方面使学生可以从较高观点观察、分析已经学过的数学分析和几何学的内容,加深对这些内容的认识和理解.

 

学习本课程的要求是:学习者应掌握拓扑学的一些基本概念,基本思想方法和基本性质,熟练掌握一些常见的拓扑空间,并能用所学的几种连续不变性区分一些简单的拓扑空间.在学习拓扑学基本理论知识的基础上,掌握拓扑学研究问题的整体性,抽象性和高度概括性.力求活跃数学思想,从而能运用较高层次的数学观点与数学知识.

先修课程要求:数学分析,高等代数,空间解析几何

本课程计划72学时,4学分

选用教材:熊金城,点集拓扑学讲义(第三版),高等教育出版社,2003

教学手段:课堂讲授为主,习题课与讨论课为辅

考核方法:考试

 

 

 

教学进程安排表

 

周次

 

学时数

 

 

 

 

教学环节

 

备注

1

2

拓扑学简介,集合的基本概念与基本运算及其基本性质

讲课

 

1

2

集合上的关系与等价关系,商集,映射,集族及其运算性质,集合的势

讲课

 

2

2

度量空间,球形邻域,开集

讲课与习题课相结合

 

2

2

度量空间中的连续映射,拓扑空间,几种常见的拓扑空间

讲课与习题课相结合

 

3

2

拓扑空间中的连续映射,同胚映射

讲课

 

3

2

邻域与邻域系,映射的点态连续

讲课

 

4

2

导集,闭集,闭包

讲课

 

4

2

内部,边界,基

讲课

 

5

2

子基,邻域基

讲课与习题课相结合

 

5

2

拓扑空间中的序列及其敛散性

讲课

 

6

2

子空间及其诱导拓扑

讲课

 

6

2

积度量空间,积拓扑空间,开(闭)映射

讲课

 

7

2

商空间与商拓扑

讲课

 

7

2

连通空间的概念,同胚不变性,可商性,有限可积性

讲课

 

8

2

连通性的基本性质及其证明

讲课

 

8

2

连通性的简单应用

讲课

 

9

2

连通分支的概念及其性质

讲课

 

9

2

道路,道路连通及其性质,道路连通与连通之间的关系

讲课

 

10

2

第一与第二可数性公理及它们之间的关系

讲课与习题课相结合

 

10

2

可遗传性,第一、二可数性公理的性质

讲课

 

11

2

可分空间的概念及其性质

讲课

 

11

2

Lindeff空间

讨论课

 

12

2

空间, 空间,Hausdorff空间

讲课

 

12

2

正则空间,正规空间, 空间, 空间

讲课

 

13

2

Urysohn引理,Tietze扩张引理

讲课

 

13

2

完全正则空间, Tychonoff空间

讲课

 

14

2

分离性公理与子空间、(有限)积空间与商空间

讲课

 

14

2

可度量化空间及其充要条件

讲课

 

15

2

紧致空间(上)

讲课

 

15

2

紧致空间(下)

讨论课

 

16

2

紧致性与分离性公理

讲课

 

16

2

的紧致子集

讲课

 

17

2

几种紧致性以及它们之间的关系(上)

讲课

 

17

2

几种紧致性以及它们之间的关系(下)

讲课

 

18

2

度量空间中紧致

讲课

 

18

2

复习

习题课

 

 

 

 

 

 

 

第一章  集合论初步

一、学习目的

通过本章的学习,要求熟练掌握朴素集合论的一些基本概念,子集的各种运算及其性质,理解集合上的关系和等价关系的概念,掌握集合中集族的概念与运算性质.为今后在一般集合上附以拓扑结构打好基础.本章计划4学时.

二、课程内容

§11 集合论的基本概念

集合的一些基本概念:元素、空集、子集与真子集、集合相等、包含与包含于,属于与不属于,幂集等.

§12 集合的基本运算

集合的各种运算(并,交、差、补)及其性质(幂等律,交换律、结合律、分配律和De Morgan律).

§13 关系

集合的卡氏积,有序偶的概念,关系,关系的逆与复合

§14 等价关系

集合上的恒同关系,关系的自反性、对称性、反对称性、传递性等概念.等价关系、等价类、商集的概念与性质.

§15 映射

映射,映射的复合,单射,满射,一一映射,恒同映射,可逆映射,映射的限制和扩张,投影与自然投影.

§16 集族及其运算

有标集族(集族)与指标集的概念.集族的并与交及其运算性质.

§17 可数集,不可数集,基数

有限集与无限集;可数集与不可数集,集合势的概念及其性质,CantorBernstein定理及其应用,连续统假设与广义连续统假设.

§18 选择公理

集合的选择函数,选择公理及其等价命题.

三、教学基本要求

复习:集合的一些基本概念与基本性质,强调各符号的规范性.

理解:有关关系,等价关系,集族的概念

掌握: 等价关系的证明,集族运算及其性质

了解:连续统假设,广义连续统假设.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1关系与等价关系,商集的概念.

2集族的概念,集族的运算及其性质.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

思考:1集合论中的“关系”与日常生活中“关系”有无关联?

2举例说明哪些关系是等价关系,哪些关系不是等价关系.

3 集族的运算与有限集合的运算有何不同?

注:思考与练习的形式有教师自行确定,下同

第二章  拓扑空间与连续映射

一、学习目的

通过本章的学习要求,熟练掌握度量空间、拓扑空间及两种空间上连续映射的定义以及它们的一致性.熟记几种常见的拓扑空间,为今后讨论各种拓扑性质提供具体的模型.明确拓扑学的中心任务.通过度量空间和拓扑空间中连续映射的学习加深对数学分析中连续函数的理解.本章计划16学时.

二、课程内容

§21 度量空间与连续映射

度量与度量空间的概念,实数空间与n维欧氏空间中的通常度量,离散度量,球形邻域,开集等一些基本概念.映射在某点连续,连续映射的概念及其充分必要条件.

§22 拓扑空间与连续映射

拓扑与拓扑空间,开集的概念,由度量诱导的拓扑,平庸拓扑,离散拓扑,有限补拓扑,可数补拓扑等一些常见的拓扑.可度量化空间的概念.拓扑空间的连续映射,同胚映射,同胚.连续映射的各种简单性质.

§23 邻域与邻域系

邻域、邻域系的概念及其性质.拓扑空间中映射的点态连续.两种整体连续定义的一致性.

§24 导集、闭集、闭包

凝聚点、导集、孤立点的概念及其性质.闭集、闭包的概念及其性质.各种常见拓扑空间中的凝聚点、闭集.度量空间中通过点到非空子集的距离刻画导集与闭包的性质.拓扑空间中连续映射的等价定义.

§25 内点、边界

内点、内部、边界点、边界的概念与性质.

§26 基与子基

拓扑基的概念,常见拓扑空间中的基.基的判别法.子集族能生成拓扑的充分必要条件,以及生成拓扑的方法.

子基的概念,以及如何由“子基”生成一个“基”,再由“基”生成拓扑.如何用基与子基刻画连续映射.

邻域基与邻域子基的概念,以及如何用邻域基与邻域子基刻画映射在某点的连续性.

§27 拓扑空间的序列

拓扑空间中的序列,子序列及其敛散性的概念.序列收敛的性质.各种常见拓扑空间中序列的散性.拓扑空间和度量空间中,序列收敛与凝聚点与连续映射.

三、教学基本要求

理解:度量与度量空间,拓扑与拓扑空间的概念.度量空间与拓扑空间上的映射连续性(点态连续和整体连续)的一致性.度量空间与拓扑空间中序列的收敛.

掌握:度量空间与拓扑空间上的连续映射的概念及其各种充分必要条件.凝聚点(导集)、孤立点、闭集、闭包、内点(内部)与边界(点)的概念以及它们之间的关系.基,子基与邻域基的概念及其判别法,如何由“基”或“子基”生成相应的拓扑.邻域基的概念.会用基、子基和邻域基刻画映射的连续性.度量空间与拓扑空间中序列收敛性的异同.

熟记:几种常见的拓扑空间中拓扑的构造.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 拓扑空间及拓扑空间上的连续映射.度量空间上连续映射两种定义的一致性.

2 同胚映射,拓扑空间之间的同胚,拓扑学的中心任务.

3拓扑基、子基的概念,如何由“拓扑基”和“子基”生成拓扑.

4 拓扑空间中序列的散性,与数学分析中序列敛散性的比较.

(二)教学手段

课堂讲授与讨论课、习题课相结合

讨论:一般拓扑空间中序列收敛与数学分析中序列收敛有哪些异同?

五、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

第三章  子空间,(有限)积空间,商空间

一、学习目的

通过本章的学习,要求熟练掌握拓扑空间的子空间的相对拓扑,积拓扑,以及商拓扑的构造与基本性质.熟练掌握几种常见的积空间与商空间.会用上述三种方法构造简单的拓扑空间.本章计划6学时.

二、课程内容

§31 子空间

度量子空间,拓扑子空间.集族的限制与相对拓扑的概念与性质.拓扑子空间中基的构造.拓扑空间的嵌入.

§32 (有限)积空间

积度量与度量积空间的概念.度量积空间中拓扑的构造.拓扑空间的积空间的概念及其拓扑的构造.开(闭)映射.投影映射的性质.

§33 商空间

由满射诱导的商拓扑,商映射与商空间.

由等价关系诱导的商拓扑,商映射与商拓扑.几何上几种常见的商拓扑空间,如圆柱面.环面,Möbius带,Klein瓶等.

三、教学基本要求

理解:度量子空间,拓扑子空间的概念,拓扑空间嵌入的概念.积度量与度量积空间,积拓扑与积拓扑空间的概念.开(闭)映射,投影映射的概念与性质.商拓扑空间的方法

掌握:相对拓扑的构造与性质,拓扑子空间基的构造.积拓扑的构造.两种生成商拓扑的方法.几何上几种常见的商拓扑空间.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 子空间上诱导拓扑的构造及其性质.

2积空间上诱导拓扑的构造及其性质.

3两种商空间上诱导拓扑的构造及其性质.

4 几何上几种常见的商拓扑空间.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

第四章  连通性

一、学习目的

通过本章的学习,要求熟练掌握一般拓扑空间的连通性与道路连通性的概念和性质,以及它们之间的关系.会判断简单拓扑空间及其简单子集的连通性与道路连通性.会利用连通性或道路连通性区分一些简单的拓扑空间.本章计划10学时.

二、课程内容

§41 连通空间

拓扑空间中两个子集的隔离,连通空间与不连通空间的概念,以及不连通空间的等价条件,连通子集与不连通子集的概念及其性质.连通性的性质及其证明.

§42连通空间的某些简单应用

实数空间 中连通子集的充要条件,以及连通子集上连续函数的性质. 上的对径点与对径映射的概念以及BorsukUlam定理.利用连通性说明 不同胚.Brouwer不动点定理与高维BorsukUlam定理.

§43 连通分支

拓扑空间中两点之间连通的概念,连通分支的概念及其性质.

§44 道路连通空间

拓扑空间中道路,起点,终点和闭路的概念.道路连通空间与道路连通子集的概念.道路连通性的性质.黏结引理及其证明.道路连通分支的概念,简单的道路连通空间.道路连通性与连通性之间的关系.

三、教学基本要求

理解:连通性与连通空间,连通分支的概念,道路与道路连通的概念.

掌握:连通性与道路连通性的性质.连通性与道路连通性之间的关系,会判断简单拓扑空间的连通性和道路连通性.会用连通性性道路连通性证明区分简单的拓扑空间.

了解: 上的对径点与对径映射的概念以及BorsukUlam定理.Brouwer不动点定理与高维BorsukUlam定理.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1连通性,道路连通性的概念.

2 连通性与道路连通性的关系(证明与反例).

3连通性的简单应用,Brouwer不动点定理与高维BorsukUlam定理.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

第五章  有关可数性的公理

一、学习目的

通过本章的学习,要求熟练掌握一般拓扑空间中的第一、二可数公理的概念,性质以及它们之间的关系.会判断简单拓扑空间是否满足第一或第二可数公理.会用两个可数公理区分一些简单的拓扑空间.本章计划8学时.

二、课程内容

§51 第一与第二可数性公理

可数基与可数邻域基的概念. 空间与 空间的定义.度量空间是 空间的证明. 空间与 空间之间的关系.(相对开或闭)子空间可遗传性质的概念. 空间与 空间的性质及其证明. 空间与 空间中点态连续与连续映射的性质.

§52 可分空间

 稠密子集与可分空间的概念及其性质.第二可数性公理的可遗传性及其证明.可分度量空间都是 空间.

§53 Lindelöff空间

覆盖,可数覆盖,有限覆盖,子覆盖,开(闭)覆盖的概念.Lindelöff空间及其性质.Lindelöffd定理.一般拓扑空间,度量空间或欧氏空间中,满足第一、二可数性公理,可分性,Lindelöff的之间的关系

三、教学基本要求

理解:第一、二可数性公理.可遗传性的概念,稠密子集与可分空间的概念.覆盖的一些基本概念,Lindelöff空间的概念.

掌握: 空间与 空间之间的关系. 空间与 空间的性质及其证明. 空间与 空间中点态连续与连续映射的性质第二可数性公理的可遗传性及其证明.可分度量空间都是 空间.Lindelöffd定理.一般拓扑空间,度量空间或欧氏空间中,满足第一、二可数性公理,可分性,Lindelöff的之间的关系

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 第一可数性与第二可数性的概念及它们之间的关系.

2 可分空间的概念及其性质

3 两种可数性是连续不变性,有限可积性的证明

4 Lindelöff空间的概念及其性质

5一般拓扑空间,度量空间或欧氏空间中,满足第一、二可数性公理,可分性,Lindelöff的之间的关系

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

第六章  分离性公理

一、学习目的

通过本章的学习,要求熟练掌握一般拓扑空间的各种分离性的概念,以及它们之间的关系.会判断简单拓扑空间的分离性.会用可分离性区分一些简单的拓扑空间.本章计划12学时.

二、课程内容

§61 Hausdorff空间

空间. 空间, 空间(Hausdorff空间)的概念,各自的充要条件. 空间, 空间的性质. 空间. 空间, 空间三者之间的关系.

§62 正则,正规, 空间

正则空间与正规空间的概念,各自的充要条件.正则空间(正规空间)与 空间、 空间、 空间之间的关系.正则空间与正规空间之间的关系.

空间, 空间的概念,性质. 空间, 空间与正则()空间, 空间、 空间、 空间之间的关系.

§63 Urysohn引理和Tietze扩张定理

Urysohn引理与Tietze定理及其简单应用.

§64 完全正则空间,Tychonoff空间

完全正则空间,Tychonoff空间的概念与性质.Tychonoff定理.

§65  分离性公理与子空间,(有限)积空间和商空间

证明所有的分离性都是拓扑不变性,也是有限可积性,但都不是可商性

§66 可度量化空间

Urysohn定理.证明Hilbert空间是可分空间.可度量化空间的充分必要条件.

三、教学基本要求

理解: 空间,正则空间与正规空间,完全正则空间,Tychonoff空间的概念.

掌握: 空间,正则空间与正规空间,完全正则空间,Tychonoff空间的性质及其证明,以及它们之间的关系.会判别一些简单拓扑空间的可分离性.会用可分离性区分一些简单的拓扑空间.Hilbert空间是可分空间的证明.可度量化空间的充分必要条件

了解:Urysohn引理与Tietze定理及其简单应用.Tychonoff定理.Urysohn定理.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1各种分离性的概念,以及它们之间的关系.

2 各种分离性是连续不变性,有限可积性的证明.

3 可度量化空间的充要条件及其证明.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

第七章  紧致性

一、学习目的

通过本章的学习,要求熟练掌握一般拓扑空间的紧致性,可数紧性,列紧性,序列紧性的概念以及它们之间的关系,紧致集本身的性质及紧致集上连续函数的性质.熟练掌握度量空间,欧氏空间中各种紧致集的充要条件与性质.会判断简单拓扑空间及其子集的紧性.会应用紧性区分一些简单的拓扑空间.本章计划14学时.

二、课程内容

§71 紧致空间

紧致空间紧致子集的概念.紧致空间Lindelöff空间之间的关系.简单的紧致空间与非紧致空间.紧致子集的充要条件.有限交性质的概念及紧致性的另一种等价定义.紧致性的基本性质.紧致空间中闭子集的性质.

§72 紧致性与分离性公理

Hausdorff空间和紧致空间中紧致子集的性质.紧致空间中各种分离性之间的关系.

§73 n维欧氏空间 的紧致子集

有限子集和有限度量空间的概念与性质.紧致度量空间的有界性.欧氏空间中紧致子集的充要条件及其性质.

§74 几种紧致性以及其间的关系

可数紧致空间,列紧空间,序列紧致空间的概念.紧致性,可数紧性,列紧性与序列紧性之间的关系.

§75  度量空间中的紧致性

Lebesgue数的概念以及Lebesgue数定理.度量空间中四种紧性之间的等价关系.

三、教学基本要求

理解:紧致空间紧致子集的概念.可数紧致空间,列紧空间,序列紧致空间的概念.

掌握:紧致空间Lindelöff空间之间的关系.简单的紧致空间与非紧致空间.紧致子集的充要条件.有限交性质的概念及紧致性的另一种等价定义.紧致性的基本性质.紧致空间中闭子集的性质.Hausdorff空间和紧致空间中紧致子集的性质.紧致空间中各种分离性之间的关系.有限子集和有限度量空间的概念与性质.紧致度量空间的有界性.欧氏空间中紧致子集的充要条件及其性质.一般拓扑空间中紧致性,可数紧性,列紧性与序列紧性之间的关系.度量空间中四种紧性之间的等价关系.

了解:Lebesgue数的概念以及Lebesgue数定理..

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1紧致性的概念及其另一种等价定义.

2 紧致空间上连续函数的性质.

3 紧致空间的性质,Hausdorff空间中紧致子集的性质,紧致空间中各种分离性之间的关系.

4 可数紧,列紧与序列紧的概念以及四种紧致性的关系.

5 度量空间中四种紧性等价的证明.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

阅读书目(或参考文献)

1 尤承业著,基础拓扑学讲义,北京大学出版社,2002

2 Armstrong, M.A.著,孙以丰译,基础拓扑学,北京大学出版社,1983

3 泽涵著,拓扑学引论,上海科学出版社,1978

4 鲍里索维奇等著,盛立人等译,拓扑学导论,高等教育出版社,1992

5 林金坤著,拓扑学基础,科学出版社,1998

6 汪林,杨富春著,拓扑空间中的反例,科学出版社,2000

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